CRECIMIENTO EXPONENCIAL

 

Toma un trozo de papel y dóblalo por la mitad. Has duplicado su espesor. Dóblalo por la mitad una vez más para lograr que tenga un espesor cuatro veces mayor que al principio. Suponiendo que pudieras continuar doblando el trozo de papel hasta 40 veces, ¿qué grosor crees que acabará teniendo? ¿Menos de un metro? ¿Entre uno y 10 metros? ¿Entre 10 y 1.000 metros?

 

En realidad no podrías doblar un trozo de papel 40 veces, pero si de alguna manera pudiera doblarse su espesor 40 veces, podría hacerse una pila de papel lo suficientemente alta como para llegar desde la Tierra hasta la Luna.

 

Eso es el crecimiento exponencial: duplicación, reduplicación y nueva duplicación.

 

Una cantidad crece exponencialmente cuando su incremento es proporcional a lo que ya existía. Una colonia de células de levadura en la que cada célula se duplica cada 10 minutos crece exponencialmente. Por cada célula, a cada 10 minutos habrá dos células. Tras otros 10 minutos habrá cuatro células, 10 minutos después habrá ocho, luego 16 y así sucesivamente. Cuantas más células de levadura haya, mayor será la cantidad de nuevas células cada 10 minutos.

 

Una cantidad que crece de acuerdo con los términos de una ecuación exponencial se duplica una y otra vez, y cada duplicación demanda el mismo tiempo que la anterior. En el caso del nenúfar el periodo de duplicación es de un día. El dinero invertido en el banco al 7% de interés se duplica cada diez años. Hay una relación simple entre el tipo de interés, o la tasa de crecimiento en términos porcentuales, y el tiempo que tardará una cantidad en duplicarse. El tiempo de duplicación es igual a 70 dividido por la tasa de crecimiento.

 

He aquí un ejemplo hipotético de cómo funciona el tiempo de duplicación. Nigeria tenía en 1990 una población de 118 millones, y la tasa de crecimiento de su población era del 2,9% anual. El periodo de duplicación es de 70 dividido por 2,9: 24 años. Si su actual tasa de crecimiento se mantuviera sin variar en el futuro, la población de Nigeria seguiría el siguiente patrón:

 

1990 = 118; 2014 = 236; 2038 = 472; 2062 = 944; 2086 = 1.888.

 

El crecimiento exponencial se produce por una de estas dos razones: porque una entidad que crece se reproduce a sí misma desde sí misma, o porque una entidad que crece es empujada por algo que se reproduce a sí mismo desde sí mismo.

 

Todas las criaturas vivientes, desde las bacterias hasta las personas, se encuentran en la primera categoría. Nuevas criaturas surgen de otras criaturas. Cuantas más criaturas haya, más nuevas criaturas pueden generarse. Es lo que se llama círculo de retroalimentación. Uno de retroalimentación positiva, es una cadena de relaciones causa-efecto que se cierra sobre sí misma de forma tal que un cambio en cualquiera de los elementos del círculo modificará aún más el elemento original en la misma dirección. Un incremento ocasionará un mayor incremento, una reducción implicará una mayor reducción.

 

Un círculo de retroalimentación positiva puede ser un “circulo virtuoso” o un “círculo vicioso”, dependiendo de que el tipo de crecimiento que ocasiona sea deseado o no. La presencia de un círculo de crecimiento positivo no implica que una población de levadura, gente, plaga, o dinero, deba crecer necesariamente en forma exponencial; sólo quiere decir que tiene la capacidad estructural de hacerlo. La tasa de crecimiento real se verá influida por muchas cosas, como los nutrientes (en el caso de la levadura), la tasa de interés (en el caso del dinero), la temperatura y la presencia de otras poblaciones (en el caso de las plagas), y, en el caso de los seres humanos, incentivos, desincentivos, metas y objetivos. La tasa de crecimiento real puede tener una gran variación en cada sitio y época. La capacidad estructural de crecimiento de una población puede mantenerse neutralizada por factores externos o por autorrestricciones. Pero el crecimiento de la población, cuando ocurre, es exponencial, hasta que algo lo detiene.

CRECIMIENTO LOGISTICO DISCRETO

 

Consideremos el siguiente modelo logístico. Se trata de una función equivalente a la función logística continua cuando el paso de tiempo se vuelve arbitrariamente pequeño

 

Donde r es la tasa instantánea de crecimiento, K la capacidad de carga, y N_t el tamaño de la población en el momento t.

 

El comportamiento del modelo logístico discreto es mucho más rico que el del modelo logístico continuo. El modelo continuo básicamente hacía que el tamaño de la población se acercara asintóticamente a K, independientemente del tamaño inicial de la población. La velocidad con que se producía este acercamiento dependía del valor de r. El modelo discreto proporciona el mismo resultado para valores bajos de r. Concretamente, si r < 2 el tamaño de la población se acerca a K con oscilaciones que se van atenuando paulatinamente. Pero si 2,0 < r < 2,5, aproximadamente, el tamaño de la población entra indefinidamente en un ciclo de periodo 2. Si r sigue creciendo el ciclo pasa a ser de periodo 4, de periodo 8, etc. Luego aparecen ciclos de periodo impar. Finalmente, si r > 2,69 desaparecen los ciclos y se entra en un patrón no repetitivo conocido como caos. No debe confundirse el término caos con aleatorio. El caos aparece en un modelo totalmente determinista, sin necesidad alguna de recurrir al azar.